[I] - Geometria

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Preliminari

  • Struttura lineare in K : somma, moltiplicazione per scalari, dipendenza lineare, basi. Struttura metrica euclidea su R. Lo spazio della matrici M(n,m) su K: struttura lineare, prodotto righe per colonne. Struttura metrica euclidea su M(n,m) su R. L'insieme C dei numeri complessi. Struttura hermitiana standard su C e M(n,m) su C. Lo spazio dei vettori liberi: struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale e proprietà relative.
Spazi vettoriali
  • Definizione. Esempi fondamentali. Dipendenza lineare. Sistemi di generatori, basi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Sottospazi vettoriali. Prodotto diretto. Somme e somme dirette. Formula di Grasmann.
Applicazioni lineari
  • Definizione. Esempi fondamentali. Nucleo e Immagine. Relazione fondamentale fra dimensione del nucleo e dell'immagine e sue conseguenze. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari fra due spazi vettoriali. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare. Traccia di endomorfismo. Composizione di applicazioni lineari. Cambiamenti di base.
Determinante
  • Definizione e motivazioni. Esistenza e unicità della funzione determinante, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet e sue conseguenze. Determinante di un endomorfismo. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice.
Spazio duale
  • Definizione di esempi. Base duale. Spazio biduale. Applicazione trasposta. Spazio dei funzionali che si annullano su un insieme.
Caratteristica e rango
  • Caratteristica per righe, caratteristica per colonne, rango di una matrice. Rango di una applicazione lineare. Proprietà del rango. Calcolo del rango. Divisori destri e sinistri dello zero.
Sistemi di equazioni lineari
  • Teorema di Roché-Capelli. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare.
Forme bilineari
  • Definizioni. Esempi fondamentali. Rappresentazione matriciale. Degenericità. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Forme quadratiche.
Prodotti scalari
  • Definizioni. Esempi fondamentali. Isometrie. Matrici ortogonali. Spazio ortogonale ad un insieme. Degenericità. Radicale. Vettori isotropi. Basi ortogonali. Esistenza di basi ortogonali contenenti vettori dati. Teorema di Sylvester. Spazi euclidei. Procedimento di ortonormalizzazione di Grahm-Schmidt in spazi euclidei. Isomorfismi musicali di uno spazio metrico. Rappresentazione di una forma bilineare in uno spazio vettoriale metrico. Operatore trasposto. Operatori simmetrici. Operatori antisimmetrici.
Prodotti hermitiani
  • Definizione. Esempi fondamentali. Degenericità. Spazi hermitiani. Operatore aggiunto. Operatori autoaggiunti e antiautoaggiunti. Matrici hermitiane. Matrici unitarie.
Autovalori e autovettori
  • Autovalori e autovettori di endomorfismi e matrici. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzabilità. Esempi. Teoria spettrale per endomorfismi di K e composizione di essi.
Triangolarizzazione
  • Endomorfismi e matrici triangolarizzabili: definizione e condizioni necessarie e sufficienti per la triangolarizzabilità. Esempi. Teorema di Hamilton-Cayley e applicazioni allo studio di matrici nilpotenti.
Teoria spettrale negli spazi hermitiani ed euclidei
  • Teorema spettrale complesso (per gli operatori normali). Autovalori di operatori autoaggiunti e antiautoaggiunti. Teorema spettrale reale (per gli operatori simmetrici). Diagonalizzazione simultanea di forme quadratiche. Calcolo degli indici di un prodotto scalare mediante la teoria spettrale. Diagonalizzazione simultanea di endomorfismi simmetrici. Determinante e rango di matrici reali e antisimmetriche. Radice di endomorfismi simmetrici definiti positivi.
Forme canoniche
  • Forma di Jordan nilpotente. Autovettori e autospazi generalizzati. Forma canonica di Jordan.
Elementi di geometria analitica
  • Coordinate cartesiane. Equazioni di rette e piani nello spazio e loro mutua posizione. Problemi metrici nel piano e nello spazio. Coniche e quadriche: classificazione e riduzione a forma canonica.