[2/3] Costruzione della pianta

Aggiungere gli ovali interni è banale perché è sufficiente ripetere la procedura di costruzione riducendo i raggi della distanza (costante) tra ovale esterno e interno. E qui appare subito una anomalia. Se provate a disegnare a mano una ellisse su un foglio e poi disegnarne di concentriche a distanza costante da quella esterna, vi rendete subito conto che lo schiacciamento dell'ovale aumenta. Questo dettaglio genera un problema nella nostra costruzione geometrica: gli arcovoli dell'ovale esterno, proiettati sull'ovale interno, risultano di lunghezza leggermente diverse a seconda che siano sull'arco a raggio maggiore o minore. Per averli della stessa lunghezza dovremmo variare i parametri dell'ovale a quattro centri, ma questo li renderebbe non allineati con quelli dell'ovale esterno (soluzione chiaramente da scartare).

Non si tratta tuttavia di un problema, occorre però ricordarsi che se per l'ovale più esterno avremo arcovoli di stessa ampiezza, per gli ovali interni saranno leggermente diversi a seconda che siano sull'arco di cerchio a raggio massimo o minimo. D'altra parte è una discrepanza presente anche nell'edificio vero e proprio e di fatto è visibile solamente sul primo ovale interno, l'unico composto da 72 arcovoli come quello esterno. Infatti come potete notare nella pianta sopra riportata, sugli ovali più interni gli arcovoli sono molto radi, si vedono per lo più i setti e quelli secondari sono anche abbastanza irregolari. Questo è il segno che se per i due ovali esterni (quelli da 72 arcovoli) c'è un rispetto rigoroso delle geometrie, andando verso l'interno il rigore rimane solo in alcuni vertici principali, mentre le altre pareti saranno state presumibilmente edificate in un secondo momento senza troppa precisione nell'allineamento e nella simmetria.

Confrontando la descrizione wikipedia e le misurazioni fatte col righello sulla pianta, definisco i raggi dei vari ovali interni e procedo a costruire su openSCAD le geometrie fondamentali della pianta dell'anfiteatro.

Constatato che sulla documentazione di pubblico dominio su internet non ci sono misurazioni precise degli ovali interni, il primo approccio che seguo è stampare alcune delle piante trovate in rete e misurare col righello gli assi maggiori e minori dei vari ovali. Conoscendo d'altra parte le dimensioni reali dei due ovali esterni, mi sarebbe stato facile risalire, per proporzione, a quelli interni. Il risultato non è male, ma l'approssimazione non mi soddisfa, perché su piantine diverse escono valori troppo diversi.

Nel lavoro del professore Trevisan viene citata l'unità di misura del "piede romano", e come gran parte delle dimensioni dell'edificio siano multipli interi di tale unità di misura, inclusi gli assi maggiori e minori esterni ed interni.

L'ovale esterno ha le seguenti dimensioni:
  • semiasse maggiore AMAX = 259 piedi
  • semiasse minore Amin = 209 piedi
L'ovale interno dell'area ha le seguenti dimensioni:
  • semiasse maggiore AMAX = 125 piedi
  • semiasse minore Amin = 75 piedi
Una prima cosa che si nota è che la distanza rimane costantemente 134 piedi lungo tutto l'ovale, condizione necessaria per la costruzione di un anfiteatro con gradinate di larghezza e altezza costante. Incoraggiato da questa regolarità, decido di proseguire con questo approccio e vado ad individuare le dimensioni degli ovali interni, cercando il multiplo di piedi che più si avvicina alla dimensione che avevo ricavato dalle piantine col righello.

In previsione di cosa potrei aver bisogno per il modello openSCAD, elenco i vari semiassi:
  • Arena : il bordo dell'arena interna.
  • Muro 1 : bordo esterno del 1° muro intermedio
  • Cerchio 1 : bordo esterno e mezzeria del 1° ovale di colonne
  • Galleria 1 : bordo esterno e mezzeria della 1° galleria
  • Cerchio 2 : bordo esterno e mezzeria del 2° ovale di colonne
  • Muro 2 : bordo esterno del 2° muro intermedio
  • Cerchio 3 : bordo esterno e mezzeria del 3° ovale di colonne
  • Galleria 2 : bordo esterno e mezzeria della 2° galleria
  • Cerchio 4 : bordo esterno e mezzeria del 4° ovale di colonne
  • Muro 3 : bordo esterno del 3° muro intermedio
  • Cerchio 5 : bordo esterno e mezzeria del 5° ovale di colonne
  • Galleria 3 : bordo esterno e mezzeria della 3° galleria
  • Cerchio 6 : bordo esterno e mezzeria del 6° ovale di colonne

Prendendo il piede romano citato dal Trevisan come 0,2954 metri, stabilisco queste dimensioni:




AMAX AMIN

DELTA esterno mezzeria esterno mezzeria

ft mt ft mt mt ft mt mt
arena

125 36,925
75 22,155
1° muro 13 3,840 138 40,765
88 25,995
1° cerchio 1 0,295 139 41,061 40,913 89 26,291 26,143
1^ galleria 10 2,954 149 44,015 42,538 99 29,245 27,768
2° cerchio 1 0,295 150 44,310 44,162 100 29,540 29,392
2° muro 26 7,680 176 51,990
126 37,220
3° cerchio 1 0,295 177 52,286 52,138 127 37,516 37,368
2^ galleria 11 3,249 188 55,535 53,911 138 40,765 39,141
4° cerchio 2 0,591 190 56,126 55,831 140 41,356 41,061
3° muro 43 12,702 233 68,828
183 54,058
5° cerchio 4 1,182 237 70,010 69,419 187 55,240 54,649
3^ galleria 15 4,431 252 74,441 72,225 202 59,671 57,455
6° cerchio 7 2,068 259 76,509 75,475 209 61,739 60,705

E' chiaro che scegliere arbitrariamente in piedi romani le dimensioni intermedie porta a valori leggermente diversi da quelli che si possono trovare da fonti pubbliche, ma sinceramente mi sembrano più vicine allo spirito dei costruttori.


Come accennato in precedenza, ciascuno degli ovali ha la sua "soluzione", diversa dagli altri, che rende uguale la dimensione dei segmenti sugli archi di cerchio a raggio minimo e massimo. Per la migliore resa estetica, cioè l'uniformità del colonnato esterno, decido di usare l'ovale a quattro centri che rende uguali i segmenti esterni della terza galleria, quello con angolo generatore 59,4° (sotto evidenziato in arancione) e calcolare i raggi generatori per tutti i semiassi sopra citati.

ovale 4 centri esterno mezzeria
alfa RMAX Rmin RMAX Rmin
° mt mt mt mt

56,535 16,593


60,375 20,433


60,671 20,728 60,523 20,581

63,625 23,682 62,148 22,205

63,920 23,978 63,772 23,830

71,600 31,658


71,896 31,954 71,748 31,806

75,145 35,203 73,521 33,578

75,736 35,794 75,441 35,498

88,438 48,496


89,620 49,678 89,029 49,087
59,4 94,023 54,113 91,835 51,893

96,119 56,176 95,085 55,142


E' interessante mostrare anche la dimensione dei segmenti degli archi di cerchio a raggio massimo e minimo, al variare del semiasse. Si nota come siano praticamente identici per l'ovale a quattro centri prescelto e via via si differenzino allontanandosi da esso, fino alla differenza massima negli ovali più interni, dove però non c'è nessuna caratteristica architettonica "a vista" che possa risultare compromessa.

esterno mezzeria
LMAX Lmin LMAX Lmin
mt mt mt mt
3,552 1,811

3,793 2,230

3,812 2,262 3,803 2,246
3,998 2,584 3,905 2,423
4,016 2,617 4,007 2,601
4,499 3,455

4,517 3,487 4,508 3,471
4,722 3,842 4,619 3,664
4,759 3,906 4,740 3,874
5,557 5,292

5,631 5,421 5,594 5,357
5,908 5,905 5,770 5,663
6,039 6,130 5,974 6,018




Disegnare la pianta in openSCAD

Definiti i cerchi a raggio massimo e minimo necessari a disegnare gli ovali per tutti i semiassi, vado a disegnare la pianta in openSCAD.

La prima parte del file contiene i parametri sopra elencati in una forma facilmente fruibile dal programma.

// oval radius
rmaxar = [56.535];                  // arena
rmax1c = [60.375,60.523,60.671];    // column 1
rmaxg1 = [62.148];                  // galley 1
rmax2c = [63.625,63.772,63.920];    // column 2
rmax3c = [71.600,71.748,71.896];    // column 3
rmaxg2 = [73.521];                  // gallery 2
rmax4c = [75.145,75.441,75.736];    // column 4
rmax5c = [88.438,89.029,89.620];    // column 5
rmaxg3 = [91.835];                  // gallery 3
rmax6c = [94.023,95.085,96.119];    // column 6

rminar = [16.593];
rmin1c = [20.433,20.581,20.728];
rming1 = [22.205];
rmin2c = [23.682,23.830,23.978];
rmin3c = [31.658,31.806,31.954];
rming2 = [33.578];
rmin4c = [35.203,35.498,35.794];
rmin5c = [48.496,49.087,49.678];
rming3 = [51.893];
rmin6c = [54.113,55.142,56.176];

// arena oval parameters
alfa = 59.4;
beta = 90 - alfa;
dx = (rmax6c[1]-rmin6c[1])*cos(alfa);
dy = (rmax6c[1]-rmin6c[1])*sin(alfa);
arena di verona hall diagram

Prendendo il valore di mezzeria del sesto cerchio di colonne (RMAX6C[1] e RMIN6C[1]), disegno sui quattro archi di cerchio le colonne di dimensioni 2,1x2,3 metri (come da fonte wikipedia). Analogamente faccio per gli ovali interni esclusa l'arena, riducendo progressivamente la dimensione della colonnaPer l'arena e per gli ovali interni disegno anche i segmenti di arco di cerchio, avendo cura di tracciarli solo laddove presenti e lasciando vuoto il segmento che deve rimanere tale. Passando invece alla direzione radiale, traccio i muri dei setti laddove presenti.

Casi particolari sono i primi segmenti adiacenti all'asse maggiore dell'ovale, perché non hanno direzione radiale, ma sono paralleli tra di loro a partire dalle colonne del sesto cerchio, così da creare un ingresso a pianta rettangolare (quindi non triangolare) in direzione del centro dell'area.




Questo il risultato finale della pianta dell'Arena di Verona in openSCAD.

arena di verona diagram



Collegamenti ai file sorgente