[1/3] Progetto del modello

pianta arena di Verona
Cercando su google una pianta dell'anfiteatro ci si imbatte in un paio di ottimi risultati, che a prima vista riportano una struttura radiale ad ellissi concentriche: teoricamente l'ideale per generarne proceduralmente la geometria.

Basta stampare l'immagine su carta ed usare un semplice righello per rendersi conto che le ellissi hanno (ovviamente) diverse eccentricità, ma soprattutto che i setti radiali non convergono verso il centro geometrico della figura, ma in almeno quattro zone distinte (poi vedremo perché quattro).

Ulteriori controlli di altri particolari geometrici mostrano altre asimmetrie che fanno sembrare poco fattibile automatizzare la generazione automatica della geometria.


Poi mi sono imbattuto nell'incredibile lavoro del prof. Camillo Trevisan, uno studio sugli schemi costruttivi dei principali anfiteatri romani (link : Sullo schema geometrico costruttivo degli anfiteatri romani ).

Tralascio i dettagli dell'articolo, e salto direttamente alle conclusioni: anche se il perimetro dell'Arena di Verona è matematicamente più vicina all'ellisse, costruttivamente è stata realizzata usando un ovale a quattro centri (oppure ad otto centri). Si tratta di una costruzione geometrica, fattibile con righello e compasso, che permette di disegnare un ovale quasi indistinguibile da una ellisse usando quattro archi di cerchio centrati in posizioni ben specifiche.

ovale a quattro centri


Se ricordate avevo detto che i setti radiali convergevano in quattro zone. Ebbene, se ci posizioniamo i quattro centri dell'ovale a quattro centri, e suddividiamo i quattro archi di cerchio in modo da avere arcovoli della stessa dimensione, troviamo una incredibile sovrapposizione dei setti radiali con i raggi dei quattro archi di cerchio. A dimostrazione che quasi certamente i romani tracciarono sul terreno la geometria dell'anfiteatro e la posizione delle colonne usando pali e corde disposte secondo un ovale a quattro centri.

arena ovale sovrapposto ai setti radiali


La semplicità degli strumenti che usarono i costruttori per tracciare la geometria dell'anfiteatro li rende anche il metodo perfetto per riprodurre digitalmente le geometrie dell'edificio senza disegnare individualmente ogni colonna, parete ed arco.

Il metodo procedurale consisterà quindi nel posizionare colonne ed archi a distanza regolare su quattro archi di cerchio con raggio e centro ben definiti, tali da produrre un ovale a quattro centri indistinguibile dal perimetro dell'anfiteatro.

Scelta la costruzione geometrica, un modo di procedere molto veloce sarebbe individuare centri e raggi dei quattro archi di cerchio direttamente sulla stampa della pianta, usando un semplice righello. Tuttavia l'approssimazione è molto grossolana e porterebbe sicuramente ad artefatti grafici durante il posizionamento e il dimensionamento degli elementi architettonici. Mi occorre qualcosa di molto più preciso.

Un primo aiuto mi viene ricordando dei 72 arcovoli dell'anfiteatro, i quattro sui due assi ed i quattro ad una ben precisa angolazione hanno una altezza leggermente maggiore. Individuandoli sulla pianta si nota che quelli ad una ben precisa angolazione sono probabilmente all'angolazione di raccordo tra gli archi di cerchio dell'ovale a quattro centri, rafforzando anche la teoria del metodo costruttivo originariamente utilizzato.

Infatti se avete notato il diagramma superiore con i setti, ho scelto di far generare agli archi di raggio minore 19 arcovoli ciascuno e agli archi di raggio maggiore 17 arcovoli ciascuno. Il numero dispari deriva dal fatto che il centro esatto di ciascun arco coincide con uno degli assi dell'ovale e quindi con un arcovolo (non con una colonna).

A questo punto decido di ricavare per via matematica i parametri dell'ovale a quattro centri, imponendo le equazioni delle relazioni geometriche che devono essere rispettate. I dati conosciuti sono la lunghezza degli assi dell'ovale (AMAX e Amin). Le variabili sono tre, il raggio maggiore (RMAX), il raggio minore (Rmin) e l'angolo dei raggi (alfa) rispetto agli assi dell'ovale. Due relazioni si ricavano dai vincoli geometrici dell'ovale a quattro centri e la terza la ricavo imponendo che ciascun arcovolo, in numero intero su ciascun arco di cerchio, abbia la stessa lunghezza sia sull'arco di raggio massimo che su quello di raggio minimo. Quest'ultimo vincolo sarà fondamentale per la buona riuscita grafica della generazione procedurale, altrimenti avremmo veri e propri tagli nella struttura.

formule ovale a 4 centri

Il sistema di equazioni non è banale da risolvere per la sola via analitica, per cui faccio il possibile in tale modo e concludo la risoluzione per via numerica con un foglio elettronico, tra l'altro parametrizzato in modo da poter provare varie soluzioni geometriche.

asse maggiore asse minore
AMAX= 76,33 Amin= 61,72

arcovoli
NMAX= 17
Nmin= 19

risultato equazioni
ALFA RMAX Rmin
58,950 95,312 56,102


Ottenuti i parametri dell'ovale a quattro centri, provo la costruzione di principio su openSCAD (link al file SCAD), usando una forma stilizzata di arco per avere il colpo d'occhio, e giungo subito ad un ottimo risultato grafico, con raccordo praticamente perfetto degli arcovoli anche al congiungimento tra i diversi archi di cerchio.

arena verona geometria openscad


Prossimo passo sarà tracciare gli altri ovali interni e gli altri elementi della pianta.