[I] - Analisi Matematica 1

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Preliminari

• Insiemi. Applicazioni tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione di funzioni. Operazioni tra insiemi, unione, intersezione, complementare. Famiglie di insiemi. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano. Grafico. Insieme quoziente e relazioni di equivalenza. Cenni su corpi, gruppi e campi.

Numeri reali, razionali, naturali e complessi

• Teoria dei numeri reali R. Proprietà dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore. Massimi e iminimi. Assioma di Archimede. Numeri razionali Q denso in R. Valore assoluto e distanza. Cenni di topologia della retta. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione. Insieme derivato. Punti di frontiera. Chiusura di un insieme. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Teorema di Cantor degli intervalli incapsulati. Insieme di Cantor. Numeri naturali. Fattoriale, coefficienti binomiale, triangolo do Tartaglia, principio di induzione, binomio di Newton. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formule di De Moivre. Radici di numeri complessi.

Successioni

• Punti limite, successioni convergenti e divergenti. Teorema dei carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema della permanenza del segno. Limiti notevoli. Medie aritmetiche, medie geometriche. Sottosuccessioni. Teorema di Cauchy. Successioni monotone.

Funzioni reali di variabile reale

• Grafici di funzioni elementari. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore, massimi e minimi. Limiti. Funzioni monotone. Relazione tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limite destro e sinistro. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Funzione di Dirichlet. Teorema della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Funzioni continue e inverse.

Calcolo differenziale in una variabile

• Derivata. Funzioni derivabili in un punto e in un insieme. Significato geometrico e fisico della derivata. Relazione fra derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Massimi e minimi relativi. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Teorema sulle derivate. Calcolo di derivate. Teorema de l'Hopital. Infinitesimi e infiniti, ordine di un infinitesimo, algebra di infinitesimi. Formula di Taylor. Teorema di Taylor. Sviluppi di funzioni in formula di Taylor. Applicazioni della formula di Taylor per il calcolo dei limiti. Funzioni convesse. Studi di funzione.

Integrali

• Integrali definiti. Classi di funzioni integrabili: continue a tratti e monotone. Teorema della media integrale. Funzioni integrali. Primitive. Integrali indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione. Integrali per sostituzione. Integrali di funzioni razionali. Integrali di funzioni razionali in sen(x) e cos(x). Integrali di alcune funzioni irrazionali. Integrali impropri. Criteri di convergenza per integrali improprio, criterio di confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio degli infinitesimi.

Serie numeriche

• Definizioni. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Serie di Mengoli. Serie telescopiche. Serie geometriche. Serie a termini positivi. Criteri del confronto, del rapporto, della radice di Cauchy. Serie a segni alterni. Criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta.