[III] - Teoria delle Funzioni

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Funzioni complesse

• Derivabilità. Funzione analitica. Armonicità. Principio di Weierstrass. Conformità. Integrale. Teorema di Cauchy. Taylor. Laurent. Singolarità. Teorema di Casorati. Teorema di Picard. Residuo, teorema dei residui di Cauchy, calcolo residuo, residuo all'infinito, secondo teorema dei residui di Cauchy. Teorema di Cauchy-Liouville. Massimo e minimo modulo. Zeri e singolarità.

Trasformata di Laplace

• Classe "L" e ascissa di convergenza. Trasformata. Smorzamento. Omotetia. Derivazione. Integrazione. Moltiplicazione per "t". Ritardo. Funzioni periodiche. Convoluzione. Divisione per "t". Prodotto ordinario. Antitrasformata. Heaviside. Teorema del valore finale. Teorema del valore iniziale.

Funzioni reali positive

• Funzione reale positiva. Funzione reale. Funzione positiva. Condizioni necessarie. Funzioni dispari. Bayard.

Trasformata di Fourier

• Serie di Fourier. Classe "L1". Trasformata. Derivazione. Decrescenza. Moltiplicazione per "t". Integrazione. Omotetia. Traslazione. Smorzamento. Antitrasformata. Trasformata. Classe "L2". Teorema di Plancherel. Trasformata "L2".

Equazioni differenziali

• Sistema differenziale e soluzione. Soluzioni a Cauchy. Stabilità "S", "US", "AS". Sistema lineare. Matrice di soluzione. Soluzioni. Soluzioni di classe "L". Stabilità soluzioni, stabilità omogeneo. Polinomio caratteristico. Risoluzione con Laplace. Stabilità affine. Teorema di Eulero. Equazione di Hermite. Teorema di Frobenius. Equazione di Bessel. Gamma euleriana. Funzioni di Bessel. Zeri (T1 e T2 di Sturm). Formule di ricorrenza. Spazio pre-hilbertiano e hilbertiano. Sistema ortogonale. Sviluppo di Hermite e Bessel.

Trasformata Zeta

• Teorema di Shannon. Trasformata. Moltiplicazione per "n". Moltiplicazione per "e^wn". Successione traslata. Convoluzione discreta. Successione periodica. Valore finale e iniziale. Prodotto ordinario. Antitrasformata.

Distribuzioni

• Distribuzioni. Insieme "L1". Convergenza "Kn(t) -> s(t)". Teorema di rappresentazione. Derivazione. Distribuzioni "S". Inclusioni. Trasformata di Fourier. Prodotto. Trasformata di Laplace.