[II] - Analisi Matematica 2

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Preliminari sugli spazi euclidei

• Spazi vettoriali lineari. Gli spazi R(N) e C(N). Prodotto scalare in R(N). Prodotto scalare in C(N). Elementi di topologia in R(N). Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Insiemi compatti. Insiemi connessi, insiemi convessi.

Funzioni in più variabili

• Funzioni continue su un compatto, funzioni continue su un connesso. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziale. Derivate e differenziali di ordine superiore. Formula di Taylor. Funzioni omogenee. Funzioni convesse e concave. Funzioni vettoriali. Derivate e differenziali. Differenziali delle funzioni composte. Il teorema di inversione locale. Funzioni implicite. Esempi preliminari. Il teorema del Dini. Insiemi di livello. Punti singolari. Inviluppo di una famiglia di curve. Il teorema della funzioni implicite in più di due variabili. Funzioni definite da un sistema di equazioni.

Curve in R(3)

• Curve regolari. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. I vettori tangente, normale e binormale.

Integrali curvilinei

• Integrali curvilinei rispetto alla lunghezza d'arco di prima specie. Forme differenziali lineari. Integrali curvilinei di seconda specie. Forme differenziali esatte. Costruzione della funzione potenziale. Insiemi semplicemente connessi.

Ottimizzazione delle funzioni di più variabili

• Estremi liberi. Generalità sull'ottimizzazione. Condizioni necessarie. Forme quadratiche. Condizioni sufficienti. Estremi vincolari. Il caso delle funzioni di due variabili. Il caso generale.

Approssimazioni di funzioni

• Successione di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Scambio di limiti: limite e derivata di limite e integrale. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Fourier.

Equazioni differenziali ordinarie

• Definizioni e terminologia. Esistenza ed unicità locale e globale. Dipendenza delle soluzioni dai dati iniziali e da eventuali parametri. Integrazione di alcune equazioni del primo ordine. Equazioni lineari. Definizioni e prime proprietà. Sistemi omogenei. Wronskiano. Sistemi omogenei a coefficienti costanti. Sistemi non omogenei.

Misura e integrazione

• Integrale multiplo secondo Riemann. Integrale doppio di funzioni definite su un rettangolo. Calcolo di un integrale doppio mediante due integrazioni semplici. Integrali su regioni più generali. Misura di Peano Jordan. Funzioni generalmente continue. Proprietà dell'integrale. Cambiamento di variabili. Integrali multipli. Alcune applicazioni. Cenno sugli integrali multipli generalizzati.

Superfici ed integrali di superficie

• Superfici in R(3). Definizioni principali. Superfici regolari. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Vettore normale. Piano tangente. Orientazione. Metrica sulla superficie. Prima forma fondamentale. Area di una superficie. Integrali superficiali. La formula di Gauss-Green nel piano. Il teorema di Stokes nello spazio. Il teorema della divergenza.