[II] - Calcolo Numerico

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Sistemi di numerazione

• Rappresentazione di numeri interi: basi, passaggi di base, Ruffini, divisioni, operazioni macchina. Rappresentazione di numeri non interi: virgola mobile normalizzata, arrotondamenti nella memorizzazione e nelle operazioni, errori assoluto e relativo di arrotondamento, precisione di macchina, errori assoluto e relativo nelle operazioni (cancellazione). Metodi ed analisi della propagazione degli errori: backward e forward analysis, perturbazione sperimentale, intervallo, analisi statistica, residuo, errori sui dati e sulle operazioni, problema ben posto, problema ben condizionato, numero di condizionamento.

Risoluzione di equazioni

• Condizioni per l'esistenza di una radice. Metodi iterativi: bisezione, metodo delle corde, Newton, secanti, Newton per sistemi non lineari, criteri di arresto, Jacobi e Gauss-Siedel per sistemi non lineari, ordine di un metodo iterativo. Equazioni algebriche: corone, regola di Cartesio, successione di Sturm (numeri reali), Bainstorm (numeri complessi).

Sistemi lineari

• Problema dell'uso di Cramer. Convenienza delle matrici diagonali e triangolari. Fattorizzazione LR (procedimento, motivi del definita positiva, condizioni sufficienti, caso LDU e Cholesky). Decomposizione ai valori singolari. Eliminazione di Gauss (procedimento, caso particolare matrici a banda, pivot parziale). Norme vettoriali (definizione e proprietà). Norme matriciali (consistenza e compatibilità, norme indotte). Operazioni con matrici (valutazione errori, numero di condizionamento, condizionamento del residuo, malcondizionamento rispetto alla precisione macchina, idea di Gauss con pivot totale, equilibratura). Metodi particolari (matrice inversa con doppio Gauss, sistema con matrice elevata, raffinamento iterativo). Metodi iterativi e condizioni di convergenza (Jacobi, Gauss-Siedel, accelerazione della convergenza).

Interpolazione

• Interpolazione: scopo, polinomi algebrici, forma di Lagrange, forma di Newton, valutazione dell'errore (Chebyshev), problema generale dell'interpolazione (Gram). Splines: scopo e dimensione dello spazio, costruzione con potenze troncate, B-spline, spline cubiche (not-a-knot, derivate seconde).

Formule di quadratura

• Scopo dei metodi. Metodi dei trapezi, Simpson e Midpoint. Precisione. Problemi di stabilità e convergenza Newton-Cotes. Formule composite.

Approssimazione di funzioni

• Scopo e condizione di esistenza. Minimi quadrati (costruzione). Problemi nella risoluzione dei sistemi.

Autovalori

• Problema degli autovalori. Teorema di Gerschgoring. Metodo delle potenze: condizioni, metodo, quoziente di Rayleigh, metodo di Wieland. Trasformazioni di similitudine: teorema di Schur, risoluzione di Hessenberg, risoluzione di tridiagonali simmetriche, Householder, rotazioni di Jacobi. Condizionamento autovalori. Rutishauer e Francis.