Frattale Triangolo di Sierpinski

Tra le peculiarità di openSCAD c'è quella di supportare la ricorsione applicata al disegno. Dei tempi degli esperimenti in LOGO, anche se ero troppo piccolo per sapere che esisteva il concetto di ricorsione, ricordo che trovai molto semplice e potente la possibilità di definire un comportamento grafico di base e ripeterlo in posizioni diverse e in scala diversa.

Oggi, dopo studi universitari e tante sperimentazioni personali, mi è venuto facile partire dalla pagina bianca in openSCAD e disegnare il frattale del Triangolo di Sierpinski.

La procedura manuale per disegnare il frattale è molto semplice:

1. Disegna un triangolo equilatero
2. Sostituisci ogni triangolo equilatero nella figura, con tre triangoli equilateri di lato metà del precedente, posti in ciascuno dei tre vertici.
3. Torna al punto 2.

Il punto 2 è la chiave per la generazione del frattale, perché di fatto genera dettagli aggiuntivi. Ed il punto 3 sfrutta il fatto che il punto 2 può essere ripetuto all'infinito sulla figura corrente, in modo da creare nuovi dettagli ed in ultima analisi il frattale finale. L'immagine sotto riportata, tratta dall'articolo wikipedia sopra citato, spiega molto bene quattro iterazione della procedura.

Sierpinski 2D con openSCAD

Traducendo in codice quella procedura possiamo disegnare il triangolo di Sierpinski con openSCAD, con alcuni piccoli accorgimenti che semplificano e potenziano al tempo stesso il codice.

Durante gli studi superiori o universitari si impara che le funzioni ricorsive devono avere due caratteristiche:

1. Un modo di richiamare sé stessa (la ricorsione vera e propria).
2. Una condizione ed un comportamento ben preciso per il termine della ricorsione.

Se prendiamo le prime due iterazioni nella figura si capisce che il modo di richiamare sé stessa consiste letteralmente nel ripetere tre volte la chiamata a sé stessa, avendo cura di spostarsi in ciascuno dei vertici (una translate() in openSCAD) e dimezzare le dimensioni (ci serve un parametro della funzione che specifichi le dimensioni del triangolo). La condizione per il termine della ricorsione lo gestiremo passando alla funzione altri due parametri, il numero progressivo di iterazione a cui siamo arrivati, ed il livello massimo a cui arrivare (nella figura sopra è 5). Il comportamento da applicare al termine della ricorsione è il disegno del triangolo.

Traducendo tutto in codice openSCAD, questo è il risultato:

Sierpinski 3D con openSCAD

Una volta compreso il meccanismo base è veramente semplice spingersi nella terza dimensione, per realizzarew un tetraedro di Sierpinski. Al posto di un triangolo avremo un tetraedro e al posto dei tre triangoli dimezzati nei vertici del triangolo, avremo quattro tetraedri di metà lato nei vertici del tetraedro. Per il resto il codice rimane del tutto identico.

Variazioni sul tema

Ruotando nello spazio il tetraedro di Sierpinski ci rendiamo subito conto che potremmo aggiungere un tetraedro di metà lato all'interno della struttura, rivolto verso il basso, aumentando anche di un livello la ricorsione, così da migliorare l'effetto frattale.

La ricorsione di presta particolarmente bene anche a giocare con i colori. Per esempio possiamo assegnare ai tetraedri un tono cumulativo di colore rosso, blu e verde ogni volta che viene scelta rispettivamente una delle tre trasformazione a base del tetraedro. E questo è il risultato.

Link al codice sorgente di questi esempi : sierpinski.scad.